Развитие вычислительных навыков — это длительный и сложный процесс, результативность которого зависит от индивидуальных особенностей учащегося, уровня его подготовки и от способов организации вычислительной деятельности, также от методических и педагогических подходов которые осуществляются к образованию учащихся и их математическому образованию в целом. На сегодняшний день все меньше и меньше внимания в новых учебниках по математике уделяется формированию и развитию устных и письменных вычислительных навыков учащихся. Постепенно снижается подготовленность учащихся в этом направлении, увеличивается количество ошибок определения порядка действий в выражениях, снижается уровень сфрмированности умения решать текстовые задачи (в частности из-за ухудшения техники чтения, вычислительных навыков). В этой связи одной из главных задач обучения, учащихся математике является повышение вычислительных навыков.

Вычислительные умения и навыки можно считать тогда сформированными когда учащиеся умеют достаточно быстро выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, и выполнять тождественные преобразования различных числовых выражений и приближённые вычисления [42].

О том как сформировано умственное действие у учащихся можно определить лишь тогда, когда сам ученик, без вмешательства со стороны, выполняет все операции, ведущие к решению.

Большая часть математических навыков — это сложные навыки, формирующиеся на основе других умений и навыков. Так, навыки сложения дробей с разными знаменателями основываются на умении находить наименьшее общее кратное двух натуральных чисел, навыки в применении основного свойства дробей при возведении дробей к общему знаменателю, умении складывать дроби с одинаковыми знаменателями. В свою очередь, каждые из указанных умений и навыков также имеют сложную структуру. Отсутствие любого из элементарных умений и навыков станет причиной несформированности и более сложного навыка.

Общеизвестно, что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их развитие происходит сознательно. Путь тренировки без достаточного понимания приводит к прочным умениям и навыкам. В этом случае необходимо пытаться достичь понимания учащимися сути действия изучаемого, содержательно объясняя эту суть.

Чтобы овладеть умениями необходимо требовать от учащихся понимать не правило, а содержание действий или преобразований.

Существует два подхода к методике развития вычислительных навыков и умений:

Первый подход (традиционный или объяснительно-иллюстративный) — показ образца вычислительного приёма по частным случаям, которые чаще всего разъясняется на предметном уровне. Нахождение результата выражения закрепляется в процессе выполнения тренировочных упражнений (с проговариванием вслух, затем про себя), результатом которых является постепенная выработка навыка. При таком подходе основные усилия учащихся направлены на восприятие готовых знаний, их закрепление и воспроизведение.

В результате такой репродуктивной деятельности вырабатывается запланированный навык, при этом учащиеся часто не осознают, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения [12].

В процессе формирования вычислительных навыков, работа над каждым вычислительным приёмом строится примерно по одному плану: подготовка для ознакомления с приемом, введение приема и выполнение упражнений, направленных на формирование умения применять приём в различных конкретных условиях.

1. Подготовка к введению нового приема: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, овладеть каждой операцией, составляющей прием.
2. Ознакомление с вычислительным приёмом: ученики усваивают суть приёма (какие операции необходимо выполнять, в какой последовательности и почему именно так можно найти результат арифметического действия). При введении большинства вычислительных приемов важно использовать наглядность (оперирование множествами, развернутая запись), выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух (сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя).
3. Закрепление знания приёма и выработка вычислительного навыка: ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющую приём, и быстро выполнить эти операции.

Второй подход (развивающий) — учащиеся выполняют не воспроизводящую, а преобразовывающую деятельность (индивидуально добывают и при необходимости восстанавливают ранее полученные знания). Он ориентирован на открытие и понимание общего способа действий учащихся.

В развивающем обучении существует 2 способа развития вычислительных навыков: косвенный и прямой способ. Косвенный способ является основным, но в чистом виде, ни один из способов не может быть использован.

Прямой способ — репродуктивный (предполагает сообщение учащимся образца с последующим многократным повторением и запоминанием алгоритма выполнения операций учащимися).

Косвенный способ является продуктивным (предполагает самостоятельный поиск учащимися алгоритма выполнения операций) [41].

В системе развивающего обучения, независимо от способа, развитие вычислительных навыков проходит следующие этапы:

1. Осознание основных положений, лежащих в основе выполнения операции и создание алгоритма выполнения операций (устные рассуждения переводятся в запись математическими знаками, создается подробная запись выполнения операций).
2. Формирования правильного выполнения операций (учащимся даются такие задания, которые ставят учащихся в позицию активного творческого поиска: к чему приведет изменение компонентов операции).
3. Достижение высокого темпа выполнения операций (проявление интереса к вычислениям учащимися).

О наличии у учащихся вычислительных навыков можно судить по их умению выполнять устные и письменные вычисления, организовать ход вычислений рационально, убеждаться в том, что результаты получены правильно.

От того на сколько сложно задание на практике существует 3 вида вычислений: письменные, устные и письменные с промежуточными устными вычислениями [4].

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Таким образом, степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Формируется умение в процессе реализации целенаправленной системы упражнений. Важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Для этого учителю необходимо:

1. Познакомить учащихся с принципом работы нового для них вычислительного алгоритма.
2. Провести работу по отработке отдельных операций, входящих в новый алгоритм.

Для развития навыка выполнения данного алгоритма недостаточно отдельных упражнений, необходима тщательно продуманная их система, в которой должна соблюдаться последовательность упражнений с постепенным их усложнением. Однако следует предостеречь от излишнего числа однообразных упражнений в системе. Упражнения по формированию навыков должны быть достаточно разнообразными как по содержанию, так и по форме, лишь в этом случае достигается прочность навыков.

3. Провести работу по закреплению алгоритма — использовать его применение во всех стандартных и нестандартных ситуациях. Это немаловажно, так как уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом. Но формируемые навыки в выполнении вычислений и тождественных преобразований должны входить в ранее сформированную систему знаний, умений и навыков, учащихся как составная часть.

Поэтому после нескольких упражнений в формировании нового вычислительного умения или навыка для достижения этой цели полезно выполнять упражнения, которые связывают изучаемое с ранее приобретенными умениями и навыками.

4. Необходимо провести проверку по усвоению алгоритма учащимися. Этому помогают проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работой учащихся в классе. Анализ всех проведённых работ как аписьменных, так и устных, дает возможность установить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерные ошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно не усвоил и как ликвидировать выявленные пробелы.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются практически бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в результате целенаправленного их формирования. При овладении умением в вычислениях первые упражнения на применение нового приёма, метода, определение должны выполняться с подробным объяснением и записями. Подробные разъяснения и записи помогают учащимся лучше понять содержание и последовательность выполнения определённого действия. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности [29].

При обучении вычислениям и совершенствовании техники счета необходимо четко представлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать.

Отметим наиболее важные из них:

1. Письменные вычисления данных чисел, знаки арифметических действий, промежуточные и окончательные результаты записываются. Поскольку качество записей оказывает существенное влияние на успех вычисления, то учащимся необходимо владеть следующими навыками:

— отчетливо писать математические символы (цифры, знаки препинания, знаки арифметических действий);

— цифры и знаки располагать строго в соответствии с правилами арифметических действий;

— безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел.

2. При устных вычислениях надо помнить данные числа и законы действий над ними. При этом формирование навыков устных вычислений связано с выработкой навыка запоминания чисел, выявления особенностей отдельных чисел.
3. Правила и приемы вычисления не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Но владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными навыками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Навыки устных вычислений значительно сокращают временные затраты на выполнение математических операций: действие с обыкновенными дробями, возведение в степень, извлечение корней, применение формул сокращённого умножения и т.д.

Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Например, без навыков устного использования таблиц сложения и умножения невозможно в совершенстве овладеть умениями в выполнении арифметических действий [19].

Чтобы овладеть умениями, предусмотренными программой, учащемуся достаточно уметь устно:

— складывать и умножать однозначные числа;

— прибавлять к двузначному числу однозначное;

— вычитать из однозначного или двузначного числа однозначное (преимущественно из числа, меньшего 20);

— складывать несколько однозначных чисел;

— складывать и вычитать двузначные числа;

— делить однозначное или двузначное число на однозначное нацело или с остатком;

— производить действия (на основе знаний правил) с дробными числами.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

В 5 классе у учащихся закреплять умение все арифметические с натуральными (многозначными) числами. В прохождения программного , пятиклассники, должны выполнять основные с десятичными дробями; законы сложения и (переместительный, сочетательный и к упрощению выражений, числа до любого определять порядок при вычислении выражения.

В 6 классе у необходимо закреплять находить числовое выражения с использованием действий с десятичными дробями. В изучения материала должны уметь признаки делимости 10, 2, 5 и уметь выполнять и вычитание обыкновенных с различными знаменателями, и деление дробей, действия над и десятичными дробями, переместительный и сочетательный сложения к упрощению с дробями, использовать закон умножения, действия с положительными и числами, решать .

У учащихся 7-9 классов развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эта работа проводится как при изучении нового материала, так и при выполнении заданий вычислительного характера.

В седьмом классе вычислительная техника учащихся совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при решении уравнений при использовании тождеств сокращенного умножения.

В восьмом классе при изучении тем «Рациональные дроби», «Неравенства», «Квадратные корни и квадратные уравнения» широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

В девятом классе в процессе изучения и закрепления тем «Квадратные уравнения», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений и неравенств», «Степень с рациональным показателем» девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.

Учитель должен иметь представление об уровне вычислительных умений и навыков учащихся, сформированных ранее. Этому могут помочь проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работой учащихся в классе. Анализ работ учащихся позволяет установить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерные ошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно не усвоил и как ликвидировать выявленные пробелы [19].

Учитель должен постоянно следить за тем, чтобы учащиеся закрепляли свои навыки в действиях с многозначными числами, восстанавливали в памяти приемы вычисления. Поэтому для установления уровня умений, учащихся выполнять арифметические действия с натуральными числами им предлагается выполнить самостоятельную работу. Эта самостоятельная работа должна удовлетворять определенным требованиям. В нее должны быть включены примеры на выполнение отдельных арифметических действий (с учетом простых и сложных случаев) и на совместные арифметические действия. Ее анализ помогает понять причины слабых умений учащихся. Например, для выполнения сложения обнаруживаются ошибки, связанные с плохим знанием таблицы сложения однозначных чисел, с неумением распорядиться суммой разрядных слагаемых в том случае, когда она является двузначным числом. Но возможно, что учащиеся хорошо владеют таблицами сложения и умножения. Правильно подписывают цифры, но не понимают механизма действия. Для того чтобы выяснить, понятен ли учащимся смысл действий, задаем соответствующие вопросы.

Например, если учащийся сделал ошибки при умножении многозначных чисел, то ему задаются вопросы:

1. Почему первый множитель умножается на каждую цифру другого (на единицы, десятки и так далее)?
2. Как записываются промежуточные произведения (в том числе в случае, когда в середине второго множителя содержится нуль)?
3. Можно ли начинать умножение с высших разрядов (если да, то изменится ли запись счета)?

Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки у учащихся навыков устного счета. У учащихся с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой [14].