Аннотация
Статья посвящена проблеме формирования математических понятий у младших школьников. В ней дается обоснование значимости современных психолого-педагогических и методических подходов к формированию понятий на уроках математики. Уделяется внимание методическим особенностям формирования понятий и видам заданий, способствующим формированию математических понятий.
Ключевые слова
Математическое понятие, этапы формирования понятий, методические особенности формирования математических понятий, познавательные логические действия как средство формирования математических понятий.
Процесс образования на современном этапе понимается не просто как усвоение знаний, умений и навыков, но и как процесс развития личности. Система образования сегодня находит свое отражение в целенаправленной организации и формировании у младших школьников умения учиться. Учение не сводится только к усвоению предметного содержания, но и понимается как процесс порождения смыслов. Изменения, происходящие в современной системе начального образования, определяют требования к результатам образования: личностным, метапредметным и предметным. Научные понятия выступают продуктом метапредметных и предметных результатов. Сложность формирования математических понятий в начальной школе состоит в том, что именно математические понятия имеют высокую степень абстракции. Возрастные особенности младших школьников, отсутствие у них логической подготовки ограничивают возможности младших школьников по усвоению математических понятий. Перестройка процесса формирования математических понятий требует от учителей начальных классов понимания теоретических и научно-методических подходов к процессу формирования научных понятий.
Понятие – это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира.
Формирование понятий – это длительный и сложный процесс, которому уделяется большое внимание в математическом образовании младших школьников. Полноценное усвоение понятий в начальных классах является основой интеллектуального и общего психического развития ребенка. По мнению Л.С. Выготского, понятия выступают для ученика элементами социального опыта, как значения, выработанные в культуре [1]. Обучающиеся должны открыть эти значения для себя и сделать их частью интеллекта и собственного сознания. Особенность этого процесса состоит в выработке у детей способности «идти» от конкретного к более общему, а также и в обратном направлении.
Еще К.Д. Ушинский в своих трудах рассматривал этапы формирования научных понятий. По его мнению, этот процесс начинается в том случае, если ребенок получает достаточное количество представлений об изучаемых явлениях [2]. Чувственное восприятие внешнего мира становится первым этапом формирования понятий. Великий русский педагог советовал учителям развивать у детей способность наблюдать, обогащать детей «полными, яркими, верными образами».
На втором этапе происходит переработка чувственных образов путем их сравнения, установления связей и отношений между ними. Воспринятый материал в результате такой внутренней работы систематизируется, обобщается, из разрозненных фактов выделяются существенные признаки, которые и составляют понятие. Всякое понятие обозначается словом. За каждым «словом скрывается целое творение, стоившее нам продолжительного труда», пишет К.Д. Ушинский.
На этом процесс формирования понятий не заканчивается. К.Д. Ушинский считал, что понятие, сообщаемое ученикам, не может быть конечной целью учения; «не само знание, а идея, развиваемая в душе дитяти усвоением того или другого знания, – вот что должно составлять зерно, сердцевину, последнюю цель таких занятий» [2, с. 588].
Процесс формирования понятий рассматривался также в отечественной и зарубежной психолого-педагогической науке (Л.С. Выготский [1], П.Я. Гальперин [3, 4], В.В. Давыдов [5], Н.А. Менчинская [6], Л.В. Занков [7], Д.Б. Эльконин [8], Ж. Пиаже [9] и др.). Понятие является отражением наиболее существенных признаков предмета и образуется на основе представлен��й путем различной степени абстракции.
Представление или образ выражают в большей степени единичное, а понятие – общее. При этом понятие и образ не просто сосуществуют и сопутствуют, они взаимосвязаны по существу. Функции образов не исчерпываются тем, что они служат необходимым опорным материалом. В ходе обучения, под влиянием сформированных понятий, возникают новые, вторичные образы, которые участвуют в познавательном процессе (М.С. Шехтер [10], И.С. Якиманская [11]). В отличие от концепции «гештальта» эта гипотеза состоит в том, что целостные образы формируются лишь после стадии анализа объектов, выделения их существенных элементов. Речь идет о «постаналитических» целостных образах.
Важно отметить связь понятия, с одной стороны, с представлением и образом, а с другой – со словом. Между понятием и словом существуют сложные взаимоотношения. Понятие обозначается словом и вне слова существовать не может, слово – его материальная основа. Слово же, являясь необходимым условием и средством образования и существования понятия, не может существовать без понятия, т.е. быть «пустой оболочкой». Таким образом, слово и понятие органически взаимосвязаны. С другой стороны, исследования, проведенные под руководством Н.А. Менчинской, показали, что словесное определение понятия не означает полное владение им [6]. В психолого-педагогических исследованиях указывается, что ребенок может овладеть понятием только в результате собственной деятельности. Знание существенных признаков понятий может стать элементом собственного интеллекта ребенка при условии, если эти существенные признаки будут выступать ориентирами познавательной деятельности и будут участвовать в решении задач, поставленных перед детьми в учебно-познавательной деятельности.
Отечественные психологи (Д.Б. Эльконин [8], В.В. Давыдов [5], П.Я. Гальперин [3, 4] и др.) в ходе длительных исследований установили, что освоение понятий напрямую связано с формированием определенной системы действий. Действия (операции) выступают средством формирования научных понятий, без которых понятие не может быть усвоено и использовано для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач.
Н.С. Подходова выделяет в процессе формирования понятия пять этапов: перцепт, представление, предпонятие, понятие, система понятий [12]. Она считает предпонятия (термин Л.С. Выготского) основой понятий, которые закладываются в 1-6 классах. Указанные этапы в научных исследованиях рассматривают как уровни овладения понятием.
В младшем школьном возрасте любое математическое понятие формируется на уровне предпонятия, что и является базой для дальнейшего формирования понятий. Критериями сформированности понятий в начальной школе Н.С. Подходова указывает следующие показатели:
— овладение объемом понятий;
— наличие широкого запаса признаков, существенных для конкретного понятия (содержание понятия) [12].
На рисунке 1 в обобщенном виде представлена модель формирования понятий, разработанная М.А. Холодной [13].
Образование понятия
Знак словесно-речевое определение
визуальная схема понятие
Объект чувственные впечатления
(реальный или идеальный)
Рис.1. Модель формирования понятий (по М.А. Холодной)
Анализируя рисунок 1, можно заметить, что процесс формирования понятий представляет собой специально организованную работу, направленную на различные составляющие понятийных структур. К ним относят:
1) подключение чувственно-сенсорных впечатлений учащихся;
2) обратимые переводы информации с языка знаков и символов на язык образов;
3) использование разнообразных познавательных логических действий (сравнение, анализ, синтез, обобщение);
4) уяснение связей (отношений) между понятиями как средства формирования понятий.
Психолого-педагогические и методико-математические исследования указывают, что качество понятийных структур тесно связано с мерой участия в их формировании чувственно-сенсорных впечатлений. В работах С.П. Баранова, неоднократно поднимался вопрос о необходимости включения элемента чувственного непосредственно в структуру мысли ученика, слияния восприятия с мышлением. По мнению С.П. Баранова, формирование понятия должно сопровождаться возникновением у детей такой совокупности образов, которая по количеству дает возможность обобщенно представить те стороны окружающего мира, которые характеризуют данное понятие, а по качеству – наиболее приближают познание к отражению предметов и явлений в естественных условиях их существования [14].
Неслучайно на первом этапе формирования понятия числа осуществляется процесс установления общего свойства равных по количеству элементов множеств на основе предметной наглядности. Так, для этой цели в учебнике математики М.И. Моро для 1-го класса используются иллюстрации (рис. 2) [15].
Рис.2. Иллюстрации из учебника М.И. Моро, 1 класс
Формирование математических предпонятий и понятий невозможно в современной методике без действия моделирования, включающего в себя перевод информации с языка знаков и символов на язык образов и наоборот.
Одним из путей введения математических понятий является метод моделирования. С помощью модели можно дать представления об оригинале, так как именно модель выполняет функции замещения, представления, интерпретации и исследования.
В.Г. Болтянский указывает на то, что модель дает не просто возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, она позволяет создать образ его наиболее существенных свойств, отраженных в модели. Все остальные несущественные свойства при разработке модели отбрасываются. Таким образом, у детей создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта [16]. Формирование понятия числа в начальной школе невозможно без использования моделирования.
А.В. Белошистая выделает следующие виды моделей [17]:
1) вещественные модели (рис.3)
Рис. 3. Вещественные модели
2) графические модели (рис. 4)
14
23 Рис. 4. Графические модели
3) Схематические модели (рис. 5)
Рис. 5. Схематические модели
Для математического образования младших школьников особенно важным становится выделение и осознание тех познавательных действий, результатом осуществления которых становится математическое понятие.
Н.Ф. Талызина описывает познавательные действия, которые осуществляет ребенок в процессе учебной деятельности [18]. При выборе действий учитываются следующие параметры: какое понятие изучается, какая цель ставится в процессе изучения этого понятия, какими умениями уже овладели обучающиеся.
В процессе формировании понятия «однозначное число» основной целью является научить школьников правильно читать и записывать однозначные числа, знать их порядок следования в натуральном ряду чисел, знать и уметь записывать состав однозначных чисел. Если рассматривать понятие «трехзначное число», то с ним младшие школьники должны научиться выполнять другие действия: представлять в виде суммы разрядных слагаемых, находить общее число единиц, десятков и сотен и т.д.
К познавательным логическим действиям, направленным на формирование математических понятий, исследователи относят:
— действие распознавания объекта,
— сравнение, классификация, обобщение,
— подведение под понятие и выведение следствий.
Итак, использование основных познавательных логических действий является средством формирования математических понятий.
По мнению Н.Ф. Талызиной, на первом этапе формирования понятий используются логические действия, на основе которых младшие школьники учатся выделять в предметах их свойства и признаки [18]. Например, в первом классе, используя карточки с геометрическими фигурами 4-х цветов (красный, желтый, синий, зелёный), большие и маленькие, разнообразные по форме (квадраты, круги, треугольники), детям предлагаются задания:
а) разложи карточки с фигурами по форме;
б) по размеру;
в) по цвету.
Затем задания усложняются:
а) выбери карточки с кругами красного цвета;
б) выбери карточки с треугольниками синего цвета;
в) выбери карточки с квадратами жёлтого цвета;
г) выбери маленькие зелёные треугольники и т.д.
Такая работа позволяет научить ребенка выделять признаки предметов и различать геометрические фигуры визуально.
Далее во втором, третьем и четвертом классах дети учатся распознаванию предметов, входящих в объем понятия. Цель действия – правильно выделить объект из данной совокупности объектов:
— выпиши в один столбик равенства, а в другой – неравенства;
— назови все прямоугольники на рисунке;
— из ряда чисел, записанных на доске, назови только трехзначные числа;
— найди среди записей уравнение.
Анализ школьной практики показывает, что дети испытывают затруднения при выполнении подобных упражнений, поскольку часто не умеют выделять именно существенные признаки. Причиной является то, что в начальной школе многие понятия вводятся остенсивно – путем демонстрации объектов, которые обозначаются термином, или контекстуально, когда определение понят��я раскрывается через некоторый контекст.
На втором этапе учитель показывает детям, что у объектов могут быть общие свойства и различные. Предметы могут быть как похожими, так и различаться. Например, такая работа осуществляется в рамках изучения раздела «Нумерация»:
- В чем сходство чисел?
7 и 71 77 и 17 31 и 38
24 и 624 3 и 13 84 и 754
- Найдите общие признаки у следующих чисел:
а) 5 и 15 б) 12 и 21 в) 20 и 10
г) 333 и 444 д) 8 и 18 е) 536 и 36
- Прочитайте числа каждой пары. Чем они похожи и чем отличаются?
5 и 50 17 и 170 201 и 2010
6 и 600 42 и 420 13 и 31
- Даны числа: 12, 16, 20, 24, 28, 32. Чем похожи эти числа? Чем отличаются?
Сравнение понятий по содержанию и объему можно осуществлять с помощью следующих упражнений:
— Чем похожи все числовые равенства?
— Чем отличаются однозначные и двузначные числа?
— Какой признак надо убрать у прямоугольника, чтобы он стал четырехугольником?
Умение выделить признаки предметов и установить между ними сходство и различие – основа действия классификации.
На третьем этапе используется действие классификации. Известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнить следующие условия:
1) ни одно из подмножеств не является пустым;
2) подмножества не пересекаются попарно;
3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.
В процессе изучения нумерации чисел используются следующие упражнения.
— Разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой оказались похожие числа: 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53.
91, 81, 82, 95, 87, 94, 85.
45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72, 34.
— Найди лишнее число и объясни, почему оно лишнее: 135, 450, 258, 63, 711. Сколько вариантов решения?
Ответ: 450 – лишнее число, так как оно круглое; 63 – лишнее число, так как оно двузначное; 711 – лишнее число, так как для записи этого числа используется цифра 1, которая повторяется 2 раза; 258 – лишнее число, так как в остальных числах сумма цифр числа равна 9.
В процессе работы с числовыми выражениями используются задания с многовариантными ответами. Например:
— Какое выражение можно назвать лишним?
1 + 3 + 2, 1 + 5, 7 – 1, 2 + 4, 6 –4, 3 +3.
Ответ: 1+3+2 – больше действий; 6 – 4, так как результат равен 2; а в остальных выражениях 6; 3 + 3 – сумма состоит из одинаковых слагаемых.
Классификация требует понимания родовых отношений и предполагает наличие понятий о роде и виде.
— По какому признаку составлены столбики чисел?
2 23 123
4 47 147
6 56 156
— Разбей выражения на группы.
4+4+4, 3+9, 6+6, 2+4+9, 1+8+3, 10 +4, 5+5+5
— По какому правилу записаны выражения в каждой паре?
4+3 4∙3
3+4 3∙4
На четвертом этапе использования познавательных логических действий младших школьников учат выявлять существенные признаки предметов и явлений. Основной приём выделения существенных свойств (признаков) предмета – приём изменения его свойств (признаков). Изменяя по очереди названные признаки, ребенок наблюдает, что произошло с данным объектом, какие он видит изменения, можно ли его назвать тем же словом или нет. В результате при изучении геометрических фигур, ученики приходят к выводу о том, что, например, треугольник останется треугольником вне зависимости от его цвета, размера и расположения на плоскости. При определении понятия квадрат дети выясняют, что существенными признаками являются: быть прямоугольником, иметь равные стороны.
Работу по выделению существенных признаков можно осуществить следующим образом. Предлагается ряд понятий и слова в скобках. Школьники должны выделить два слова, которые по значению являются наиболее существенными для указанных понятий и их можно поставить перед скобками. Например:
— умножение (одинаковые слагаемые, действие, произведение, компоненты, увеличение);
— периметр (сумма, прямоугольник, длина, см, формула);
— уравнение (решение, равенство, неизвестное, проверка, ответ);
— выражение (математическое, неизвестное, буквы и числа, действия, неравенство).
Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений связано с применением такого познавательного логического действия как обобщение (пятый этап). Результат обобщения фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения – теоретическом и эмпирическом. В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знаний является результатом индуктивных рассуждений.
Для получения правильного обобщения индуктивным способом в методике обучения математике Н.Б. Истомина рекомендует:
— продумывать, какие математические объекты лучше использовать, а также вопросы для целенаправленного наблюдения и сравнения;
— рассматривать несколько частных объектов и ситуаций, в которых повторяется закономерность, подлежащая усвоению;
— использовать различные виды моделей (предметные, графические, символические), отражая в каждой из них одну и ту же закономерность;
— помогать детям формулировать выводы из наблюдений, предлагать наводящие вопросы, уточнять и корректировать формулировки [19].
Рассмотрим на конкретном примере, как можно реализовать обозначенные рекомендации в процессе знакомства с переместительным свойством умножения.
— Найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением:
9∙5 9∙6 9∙7
5∙9 6∙9 7∙9
— Узнайте, чем похожи и чем отличаются равенства в каждом столбике?
— Какому рисунку соответствует каждое выражение? (рис. 6)
— Какой вывод можем сделать?
Рис. 6. Иллюстрация из учебника Н.Б. Истоминой, 3 класс
Формируя у младших школьников действие обобщения индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.
Например: сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай выводы.
2+3…2∙3 4+5…4∙5
3+4…3∙4 5+6…5∙6
Выполнив задание, младшие школьники обнаруживают, что слева записана сумма, справа произведение двух последовательных чисел. Сумма всегда меньше произведения; значит, можно сделать вывод: «Сумма двух последовательных чисел всегда меньше произведения». Но высказанное обобщение ошибочно, так как не учтены случаи:
0+1…0∙1
1+2…1∙2
После этого обобщение будет звучать так: «Сумма двух последовательных чисел, начиная с числа 2, всегда меньше произведения этих же чисел».
В ходе выполнения подобных заданий у младших школьников происходит формирование аналитико-синтетической деятельности, которая находит свое выражение в умении выделять элементы и признаки и соединять их в единое целое. Кроме того, логические действия анализа и синтеза заключаются в умении находить новые связи и отношения и новые функции.
Формирование математических понятий невозможно без действий анализа и синтеза в процессе выполнения заданий. Подобные задания позволяют рассматривать математические объекты с различных точек зрения. Например:
— прочитай по-разному равенство 25 –5 =20
Ответ: 25 уменьшить на 5, получим 20; 25 больше 20 на 5; разность чисел 25 и 5 равна 20; 25 – уменьшаемое, 5 – вычитаемое, 20 – разность; если к разности (20) прибавить вычитаемое (5),то получим уменьшаемое (25); число 5 меньше 25 на 20.
— расскажи, что ты знаешь о числе 325
Ответ: это трехзначное число; оно записано цифрами 3, 2, 5; в нем 325 единиц, 32 десятка, 3 сотни; его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых так: 300+20+5; оно на 1 единицу больше числа 324 и на 1 единицу меньше числа 326; его можно представить в виде суммы двух слагаемых, трех, четырех и т.д.
— как по-разному можно назвать квадрат?
Ответ: прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.
На шестом этапе осуществляется работа по использованию действия подведения под понятие и получение следствий через выделение причинно-следственных связей. Для этого можно использовать следующие упражнения:
— докажи, что указанная фигура является квадратом;
— обоснуйте, почему записи 5 — х, 27 : 3 – не являются уравнением;
— докажите, что числа 4, 6, 8, 10 являются четными;
— что можно сказать о числах 25 и 52;
— что можно рассказать о записи 9 – 4 = 5.
Анализ упражнений свидетельствует о том, что формирование понятий связано с формулированием умозаключений, которые выступают результатом одного или нескольких суждений. Для формулировки умозаключений на основе выделения причинно-следственных связей используются формулировки «если …., то…», «…., так как….», «…, потому что….», «для того чтобы…», «чем…, тем …».
Умение младших школьников устанавливать причинно-следственные связи определяют, если:
— школьник самостоятельно или с небольшой помощью взрослого устанавливает внешне выраженные прямые и обратные связи;
— школьник может выделить причину каких-либо явлений и объяснить ее;
— школьник воспринимает и с помощью взрослого объясняет скрытые связи, использует суждения и умозаключения, умеет строить цепочки логических рассуждений и связей объектов и явлений.
Приведем пример работы по установлению причинно-следственных связей на уроках математики.
— Не выполняя вычислений, ответь на вопрос: «На сколько больше в каждой паре одно прои��ведение, чем другое?»
7∙9 9∙6 9∙5
9∙8 4∙9 3∙9
— Верно ли утверждение, что в каждом столбце значения выражений одинаковы?
68-9 37+4 80-9
67-8 36+ 5 79-8
66-7 35+6 78 -7
Современное математическое образование осуществляется в контексте системно-деятельностного подхода, который предполагает использование не только адекватных познавательных логических действий, но и учет ряда методических особенностей в процессе формирования математических понятий, а именно:
Знакомству с понятием, выраженным словом, должна предшествовать работа по созданию у детей запаса представлений об объектах, входящих в объем изучаемого понятия.
С целью правильного усвоения отличительных признаков рассматриваемых объектов необходимо варьировать как существенные, так и несущественные признаки объектов.
Моделирование является методом формирования математических понятий в начальной школе.
Для усвоения математических понятий у младших школьников должны быть сформированы мыслительные операции.
Понятия могут формироваться только в результате активной и поэтапной работы учащихся в процессе решения учебно-практических и учебно-познавательных задач.
Для того чтобы учащиеся младшего школьного возраста качественно усвоили математические понятия, учителю необходимо знание операционального состава каждого используемого действия и умение осуществлять взаимосвязь различных действий в процессе организации учебной деятельности.
Первоначальное знакомство с математическими понятиями получает дальнейшее развитие в двух направлениях: уточнение содержания и объема понятия и выполнение новых действий с понятиями.
Список использованной литературы:
Выготский Л.С. Мышление и речь. – Изд. 5, испр. – М.: Изд-во «Лабиринт», 1999. – С. 118-184.
Ушинский К.Д. Избранные педагогические сочинения в 2-х томах. – М.: Педагогика, 1974.
Гальперин П.Я. Умственное действие как основа формирования мысли и образа // Вопросы психологии. 1965. №6. С. 58-69.
Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. – 45 с.
Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М.: ИНТОР. – 1996. – 544 с.
Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. – М.: Педагогика, 1989. – 218 с.
Занков Л.В. Развитие учащихся в процессе обучения. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. – 292 с.
Эльконин Д.Б. Избранные педагогические труды. – М.: Педагогика. – 1989. – 560 с.
Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка / Сост., новая ред. пер. с фр., коммент. Вал. А. Лукова, Вл. А. Лукова. – М.: Педагогика-Пресс, 1994. – 526.
Шехтер М.С., Потапова А.Я. О роли и видах образов в познавательных процессах // Психологический журнал. – 2001. – Т. 22. – №3. – С. 57- 66.
Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. – М: Педагогика, 1980. – С. 240.
Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов. Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова и др. – М.: Дрофа,2005. – 416 с.
Холодная М.А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования. – 2-е изд. – Спб.: Питер, 2002. – С.119-127.
Баранов С.П. Чувственный опыт ребенка в начальном обучении. – Москва: АПН РСФСР, 1963. – 124 с.
Математика. 1 класс. Учеб. для общеобразовательных учреждений с прил. В 2 ч. Ч. 1, Ч. 2 / [М. И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.]. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 112 с. : ил. – (Школа России).
Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями / В.Г. Болтянский // Математика в школе. – 1973. – №5. – С. 76-77.
Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. – М.: Владос, 2007. – 456 с.
Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учебник для студ. сред. пед. учеб. заведений. – 2-е изд., стереотип. – М.: ИЦ «Академия», 1998. – 288 с.
Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений с прил. В 2 ч. Ч. 1, Ч. 2 / Н.Б. Истомина. – Смоленск: «Изд-во XXI век». – 2013.
© Д.И. Прокопова, 2017
