В математике существует множество задач, в которых необходимо умение решать иррациональные уравнения и неравенства. Данная курсовая работа посвящена различным методам решения таких уравнений и неравенств. Трудности при решении иррациональных уравнений и неравенств могут возникнуть в связи с тем, что в большинстве случаев нет четкого алгоритма решения таких уравнений и неравенств. Также преобразования, которые необходимо делать с такого рода уравнениями и неравенствами, приводят к уравнениям и неравенствам неравносильным исходным. Поэтому методы решения иррациональных уравнений и неравенств отличаются от общих методов решения уравнений и неравенств.

Актуальность данной работы заключается в том, что умение решать иррациональные уравнения и неравенства необходимо в решении многих физических задач, а также может помочь в решении уравнений и неравенств других типов.

Для того чтобы оценивать основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств необходимо рассмотреть основные теоретические сведения, которые касаются этой темы.

Определение 1. Иррациональным уравнением называется такое уравнение, в котором выражение, содержащее переменную, находится под знаком радикала или дробной степени. [8 с.7]

Определение 2. Иррациональным неравенством называется такое неравенство, в котором переменная находится под знаком корня. [9 с.193]

Определение 3. Иррациональными числами называют бесконечные непериодические десятичные дроби. То есть такие числа, которые невозможно представить в виде обыкновенных дробей. Множество иррациональных чисел является подмножеством действительных, а, следовательно, к ним применимы все свойства действительных чисел. [9 с.31-32]

Данное выше определение позволяет привести примеры иррациональных чисел. Например, бесконечная непериодическая дробь 6,2022002220000222200000… (количество двоек и нулей каждый раз увеличивается на одну) будет числом иррациональным. Еще одним примером можно считать число «пи» π=3,141592…, которое обозначается специально введенной буквой.

Также необходимо помнить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Намного чаще они встречаются в виде корней, степеней, логарифмов и тому подобное. Наиболее известным примером подобной записи иррациональных чисел является квадратный корень из двух 2=1,414213… . [7 с.144]

История возникновения иррациональных чисел начинается еще в VII веке до нашей эры. Индийский математик Манава считал, что невозможно точно определить значения квадратных корней из чисел 61 и 2. А то, что иррациональные числа действительно существуют, было доказано в Пифагорейской школе, при обнаружении сторон пентаграммы. Огромный вклад в историю изучения иррациональных чисел внес известный немецкий математик Карл Вейерштрасс, который определил и доказал свойства и методы применения иррациональных чисел. [16 с.52, 132, 174]

Для изучения иррациональных уравнений и неравенств необходимо изучить общие сведения, связанные с уравнениями и неравенствами.

Одно из определений уравнения звучит так: «Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое обозначается буквой». Но существует и другое более распространенное определение уравнения, основанное на понятии функции.

Определение 4. Равенство двух функций от одних и тех же аргументов является уравнением. [14 с.141]

Определение 5. Аргументы функций, составляющих уравнения, являются неизвестными этого уравнения. [4 с.62]

Определение 6. Неравенством являются два выражения, которые могут быть как числовыми, так и буквенными, соединенные одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство. [14 с.141]

В общем виде уравнения в одной переменной можно представить в виде

fx=0,

где fx – некоторая функция неизвестной x.

Определение 7. Областью (множеством) допустимых значений (ОДЗ) переменной х называют множество всех допустимых значений x, при которых определена функция fx. [6 с.54]

Значения х из ОДЗ, обращающие уравнение в верное тождество, являются решениями (корнями) данного уравнения. Уравнение можно считать решенным, если были найдены все его корни или доказано, что их не существует.

Для неравенств аналогично, что всякое значение неизвестной х из области допустимых значений неравенства, обращающее его в верное числовое неравенство, можно называть решением неравенства. Точно также все корни неравенства образуют множество его решений.

Уравнения, в которых над переменными совершаются в конечном числе только операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня, называются алгебраическими. В трансцендентных уравнениях над неизвестными совершаются другие операции, например взятие логарифма или косинуса, или если перечисленные выше алгебраические операции совершаются бесконечное число раз. [15 с.109, 124]

Большинство методов решения уравнений и неравенств основаны на равносильности выражений.

Определение 8. Равносильными являются такие уравнения, множества решений которых совпадают. Замена уравнения равносильным ему называется равносильным переходом. [10 с.343]

Также существует такое понятие, как равносильность на множестве. Уравнения могут не быть равносильными, но на некотором множестве являться таковыми. Например, уравнения х2=4 и х=2 равносильны на множестве положительных чисел.

Определение 9. Если все решения одного уравнения являются также решениями другого уравнения, то последнее уравнение называют следствием первого. [10 с.344]

Следствие обычно содержит не только корни исходного уравнения, но и другие (посторонние) решения. Поэтому при переходе в решении к следствию в конце необходимо совершить проверку найденных значений х, чтобы исключить посторонние корни. Пользуясь понятием следствия, можно сформулировать определение равносильности уравнений (1) и (2) таким образом: уравнения (1) и (2) будут равносильны, если

1⇒2(2)⇒(1).

Необходимо также сказать, что приведенные выше определения равносильности и следствия можно распространить и на случай неравенств.

Так как решение многих уравнений основано на равносильности, то необходимо знать какие преобразования, которые можно совершить над уравнением или неравенством, являются равносильными.

К равносильному уравнению приводит возведение уравнения (неравенства) в нечетную натуральную степень, а также обратная операция – извлечение алгебраического корня нечетной степени:

fx=gx⟺fx2n+1=gx2n+1 ;

fx=gx⇔2n+1fx=2n+1g(x) ;

fx<gx⇔fx2n+1<gx2n+1 ;

fx<gx⇔2n+1fx<2n+1 gx , n∈N.

Если на некотором множестве две функции fx и gx неотрицательны, то на данном множестве будут равносильны уравнения:

fx=gx⇔ fx2n= fx2n;

fx=gx⇔2nfx= 2ngx ;

fx<gx⇔fx2n<gx2n ;

fx<gx⇔2nfx<2ngx , n ∈N.

Если на области допустимых значений исходного уравнения или неравенства определена функция v(x), то ее можно прибавить (вычесть) к обеим частям уравнения или неравенства:

fx=gx⇔fx+vx=gx+vx ;

fx<gx⇔fx+vx<gx+vx .

Также к обеим частям уравнения или неравенства можно прибавлять (вычитать) одно и то же действительное число a:

fx=gx⇔fx+a=gx+a ;

fx<gx⇔fx+a<gx+a .

Если на области допустимых значений исходного уравнения (неравенства) определена и не обращается в нуль функция v(x), то можно одновременно умножать или делить обе части уравнения на данную функцию:

fx=gx⇔fx∙vx=gx∙vx .

Аналогично обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля действительное число a:

fx=gx⟺fx∙a=gx∙a , a∈ R , a≠0 .

Если на области допустимых значений исходного неравенства определена и положительна некоторая функция v(x), то обе его части можно одновременно умножить (разделить) на данную функцию, причем знак неравенства не поменяется:

fx<gx⟺fx∙vx<gx∙vx , vx>0 ∀ x∈ОДЗ .

В частности, можно умножить обе части неравенства на одно и то же положительное действительное число:

fx<gx⟺fx∙a<gx∙a , a∈R , a>0 .

Если на области допустимых значений исходного неравенства определена и отрицательна некоторая функция h(x), то в таком случае обе части неравенства можно умножать (делить) на эту функцию, при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

fx<gx⟺fx∙vx<gx∙vx , vx<0 ∀ x∈ОДЗ .

Таким же образом обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же отрицательное действительное число:

fx<gx⟺fx∙a<gx∙a , a∈R , a<0 .

Показательное уравнение вида a f(x)= a gx a>0 , a≠1 равносильно уравнению, которое получается в результате логарифмирования:

a f(x)= a gx⟺fx=gx .

Если из уравнения fx=0 следует уравнение gx=0 , то

fx=0gx=0⇔fx=0 , fx=0gx=0 ⇔gx . [14 с.146-148]