Метод возведения в степень.
Пример 1. Решить уравнение 3×2-25x+51=2-x. [20]
Так как данное уравнение вида fx =gx, то оно будет эквивалентно системе
3×2-25x+51=2-x⇔2-x≥0,3×2-25x+51=(2-x)2 ⇔x≤23×2-25x+51=4-4x+x2⇔x≤22×2-21x+47=0
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
2×2-21x+47=0
D=b2-4ac
D=212-4×2×47=441-376=65
x=-b±D2a
x1=—21+652×2=21+654
x2=21-654
Оба полученные корня не удовлетворяют x≤2, что значит, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить уравнение 31+x4 =31+x2. [20]
Так как степень радикала нечетная, то возведение обеих частей уравнения в третью степень является равносильным преобразованием.
31+x4 =31+x2⇔31+x4 3=31+x23⟺1+x4=1+x2
При переносе всех слагаемых в одну часть получаем биквадратное уравнение x4-x2=0, которое легко решить, вынеся множитель x2 за скобки.
x2x2-1=0
x2=0 ∧ x2-1=0
x1=0 ∧ x2,3=±1
Ответ: 0; -1; 1.
Пример 3. Решить уравнение x+2+8-x=15. [8 с.11]
ОДЗ: x+2≥08-x≥0⟺x≥2x≤8; x∈2;8
Возведем обе части уравнения во вторую степень
x+2+8-x2=152
⇔ x+22+2x+28-x+8-x2=15 ⇔x+2+2x+28-x+8-x=15
⇔2x+28-x=5
Получившееся уравнение повторно возведем в квадрат
2x+28-x=5⇔4x+28-x=25
4-x2+6x+16=25
-4×2+24x+64=25
-4×2+24x+39=0
D=242-4×-4×39=1200
x1=-24+12002×(-4)=-24+203-8=3-532; x2=3+532.
Оценим значения полученных корней:
1,7<3<1,8
8,5<53<9
4,25<532<4,5
7,25<3+532<7,5
3+532∈2;8
1,7<3<1,8
-9<-53<-8,5
-4,5<-532<-4,25
-1,5<3-532<-1,25
3-532∉2;8
Ответ: 3+532.
Пример 4. Из точки прямой, которая перпендикулярна плоскости мишени и проходит через ее центр, ведется стрельба из спортивного пистолета. Диаметр круглой мишени 1м. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от нее до края мишени и до центра была не больше 2см? [1, с. 61]
Пусть точка А – точка выстрела, О – центр мишени, а В – точка на окружности мишени (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1
По условиям задачи ВО = 50см. Обозначим АО = x, тогда АВ=x2+2500.
В задаче сказано, что АВ – АО ≤ 2, то есть x2+2500-x≤2
или x2+2500≤x+2.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
x2+2500≤x+2⇔x2+2500≥0x+2≥0x2+25002≤(x+2)2⇔x≥-2×2+2500≤x2+4x+4⇔x≥-24x≥2496⇔x≥-2x≥624
Ответ: не менее 624м.
Пример 5. Решить неравенство -x2+6x-5>8-2x. [19]
Данное неравенство эквивалентно совокупности неравенств
-x2+6x-5>8-2x⟺8-2x≥0-x2+6x-5>(8-2x)28-2x<0-x2+6x-5≥0
Отдельно решается каждая система неравенств.
8-2x≥0-x2+6x-5>(8-2x)2⇔x≤4-5×2+38x-69>0
Второе неравенство полученной системы решается с помощью метода интервалов:
-5×2+38x-69>0
-5×2+38x-69=0
D=382-4×-5×-69=1444-1380=64
x1=-38+64-5×2=-38+8-10=3; x2=-38-8-10=4,6
Рисунок 2.2
x∈3;4,6
Получается система x≤43<x<4,6 , решение которой полуинтервал x∈3;4.
8-2x<0-x2+6x-5≥0⟺x>4-x2+6x-5≥0
Второе неравенство аналогично решается с помощью метода интервалов:
-x2+6x-5≥0
-x2+6x-5=0
D=62-4×-5×-1=16
x1=-6+16-2=-6+4-2=1; x2=-6-4-2=5
Рисунок 2.3
x∈1;5
Так как исходное неравенство эквивалентно совокупности систем неравенств, то общее решение объединяет решения двух систем. Тогда получаем совокупность: x>41≤x≤5, решение которой будет x∈3;5.
Ответ: 3;5.
Метод умножения на сопряженное выражение.
Пример 6. Решить неравенство 5x+1-x+3<2x-1. [2 с.19]
Найдем область допустимых значений:
5x+1≥0x+3≥0⟺x≥-15x≥3⟺x≥-15
Сопряженное выражение для левой части 5x+1+x+3 положительно на ОДЗ, поэтому можно умножить на него обе части неравенства.
5x+1-x+3<2x-15x+1+x+3
⇔2(2x-1)<(2x-1)(5x+1+x+3)
Дальнейшее решение будет зависеть от знака общего множителя (2x-1) обеих частей полученного неравенства.
Если 2x-1<0⟺x<12 и с учетом ОДЗ x∈-15;12, то при сокращении на отрицательный множитель получается неравенство
5x+1+x+3<2
Можно возвести обе части в квадрат, так как они положительны
5x+1+25x+1x+3+x+3<4⟺6x+4+25x+1x+3<4
⟺25×2+16x+3<-6x⟺5×2+16x+3≥0-6x>04(5×2+16x+3)<36×2⟺x≤-3x≥-15x<0-16×2+64x+12<0
Последнее неравенство решается с помощью метода интервалов
-16×2+64x+12<0
-16×2+64x+12=0
D=642-4×12×-16=4864
x1=-64+4864-16×2=-64+1619-32=2-192; x2=2+192.
Рисунок 2.4
x∈-∞;4-192∪4+192;+∞
Тогда решением неравенства 5x+1+x+3<2 будет полуинтервал
x∈-15;4-192.
Если 2x-1>0⟺x>12 , то при сокращении на него получается неравенство
5x+1+x+3>2
Полученное неравенство справедливо при всех значениях x>12 , то есть его решение x∈12;+∞.
В третьем возможном случае, когда общий множитель левой и правой частей равен нулю, неравенство не выполняется: получается 0>0, что неверно.
Ответ: -15;4-192∪12;+∞.
Пример 7. Найти все целые корни уравнения 1+x+x2+1-x+x2=4. [20]
ОДЗ:
1+x+x2≥01-x+x2≥0
1+x+x2≥0
1+x+x2=0
D=12-4×1×1=-3
x∈∅
1-x+x2≥0
1-x+x2=0
D=(-1)2-4×1×1=-3
x∈∅
Так как подкоренные выражения не имеют корней, то они положительны при любых действительных значениях x∈R.
Сопряженным выражением для левой части уравнения будет 1+x+x2-1-x+x2, тогда при умножении на него получится уравнение
1+x+x2-1+x-x2=41+x+x2-1-x+x2
⟺2x=41+x+x2-1-x+x2
Получается система уравнений 1+x+x2+1-x+x2=41+x+x2-1-x+x2=12x
При сложении уравнений этой системы получается
21+x+x2=12x+4⇔12x+4≥041+x+x2=14×2+4x+16⟺x≥-8154×2=12⟺x≥-8×2=165
x1,2=±455
Ответ:±455.
Метод замены переменных.
Пример 8. Решить уравнение 1-x2=4×3-3x. [20]
ОДЗ: 1-x2≥0⟺(1-x)(1+x)≥0 x∈-1;1
Выполним замену x=cost, t∈0;π, тогда получается уравнение:
1-cos2t=4cos3t-3cost⟺sin2t=2cost×2cos2t-3cost⟺sint=2cost1+cos2t-3cost
⟺sint=2cost+2cost×cost-3cost
⟺sint=2cost×cos2t-cost⟺sint=cos3t+cost-cost⟺sint=cos3t
Так как sint≥0, то sint=cos3t⟺ cos3t- cosπ2-t=0
⇔-2sin4t+π4sin8t-π4=0⟺-2sin(t+π4)sin(2t-π4)=0
⟺sin(t+π4)=0sin(2t-π4)=0⟺t=-π4+πn, n∈Zt=π8+π2n, n∈Z
Условию 0≤t≤π удовлетворяют значения t1=π8;t2=58π;
t3=34π.
x1=cosπ8=1+cosπ42=1+222=122+2;
x2=cos5π8=1+cos5π42=-1-cosπ42=-122-2;
x3=cos3π4=-cosπ4=-22.
Ответ: -22;-122-2; 122+2.
Пример 9. Решить неравенство 311x-18≥1x-4. [19]
ОДЗ: x≥0.
Совершим замену переменной x=у; у≥0, тогда
311у-18≥1у2-4⟺311у-18-1у2-4≥0⟺3у2-12-11у+18(11у-18)(у2-4)≥0⟺3у2-11у+6(11у-18)(у2-4)≥0⟺3(у-3)(у-23)(11у-18)(у2-4)≥0⟺3(у-3)(у-23)(11у-18)(у-2)(у+2)≥0
Так как у≥0, то всегда у+2>0 и заключительное неравенство будет эквивалентно
3(у-3)(у-23)(11у-18)(у-2)≥0.
Для решения полученного выражения можно применить метод интервалов:
3(у-3)(у-23)(11у-18)(у-2)=0⟺у-3у-23=0(11у-18)(у-2)≠0⟺у=3у=23у≠1811у≠2
Рисунок 2.5
Решим совокупность неравенств относительно переменной у, а затем вернемся к неизвестной x.
0≤у≤231811<у<23≤у<∞⟹0≤x≤231811<x<23≤x<∞⟹0≤x≤49324121<x<49≤x<∞x≥0.
В данном случае вся совокупность множеств решений исходного неравенства принадлежит области допустимых значений.
Ответ: 0;49∪324121;4∪9;∞.
Решение уравнений (неравенств) на отдельных промежутках ОДЗ. Учет ОДЗ.
Пример 10. Найти корни уравнения
11x+3-2-x-9x+7+x-2=0. [20]
ОДЗ: 11x+3≥02-x≥09x+7≥0x-2≥0⟺x≥-311x≤2x≥-79x≥2⟺x=2
Для уверенности можно совершить проверку
22+3-2-2-18+7+2-2=0
25-0-25+0=0
0=0
Получилось верное тождество, значит, уравнение имеет только один корень x=2.
Ответ: 2.
Пример 11. Решить неравенство 2×3+9×2+13x+6> -1. [19]
Квадратный корень может принимать только неотрицательные значения, значит, данное неравенство выполняется всегда, когда квадратный корень определен. Чтобы найти множество решений этого неравенства достаточно определить его область допустимых значений.
ОДЗ: 2×3+9×2+13x+6≥0
Решить это неравенство можно с помощью метода интервалов:
2×3+9×2+13x+6=0
Один из корней кубического уравнения является делителем свободного члена. Делители 6: ±1; ±2; ±3; ±6. Допустим x=-1. Проверить это можно делением по схеме Горнера:
-1∣2 9 13 6
∣-2-7-6
∣2 7 6 0
Так как остаток 0, то x=-1 является одним из корней.
Также по схеме Горнера определяются коэффициенты квадратного уравнение, которое получается при разложении на множители.
2×3+9×2+13x+6=x+12×2+7x+6=0
Чтобы найти оставшиеся корни необходимо решить полученное квадратное уравнение.
2×2+7x+6=0
D=72-6×2×4=49-48=1
x1=-7+14=-7+14=-32; x2=-7-14=-2
Рисунок 2.6
x∈-2;-1,5∪-1;∞.
Данная совокупность множеств решений и будет являться решением исходного неравенства.
Ответ: -2;-1,5∪-1;∞.
Метод выделения полных квадратов.
Пример 12. Найти сумму всех целых корней уравнения x+5-4x+1+x+2-2x+1=1. [8 с.14]
Подкоренные выражения можно преобразовать так, чтобы можно было выделить полные квадраты:
x+1-2×2x+1+4+x+1-2x+1+1=1
x+1-22+x+1-12=1
Для ОДЗ достаточно условия, x+1≥0, x≥-1.
Уравнение принимает вид x+1-2+x+1-1=1
Следующим действием необходимо найти значения переменной, при которых каждое выражение под модулем обратится в нуль.
x+1-2=0x+1-1=0⟺x+1=2x+1=1⟺x+1=4x+1=1⟺x=3x=0
Рисунок 2.7
Можно сразу проверить x=-1. Тогда получим
1+1-2+1+1-1=1
3=1.
Не является верным тождеством, следовательно, x=-1 не будет корнем уравнения.
Необходимо рассмотреть полученное уравнение на каждом из трех промежутков:
1-1<x≤0-x+1+2-x+1+1=1⟺-1<x≤0x+1=1⟺-1<x≤0x=0;
20<x≤3-x+1+2+x+1-1=1⟺0<x≤31=1;
3x>3x+1-2+x+1-1=1⟺x>3x+1=2⟺x>3x=3.
Получилось два целых корня x=0 и x=3.
Ответ: 3.
Пример 13. Решить неравенство x+2-2x+1+x+26-10x+1≥4x+1. [19]
Выделим в подкоренных выражениях левой части неравенства полные квадраты
x+1-2x+1+1+x+1-10x+1+25≥4x+1
x+1-11+x+1-52≥4x+1.
ОДЗ: x+1≥0 ;x≥-1. Из этого следует, что x+1=x+1.
После перехода к модульной записи неравенство примет вид
x+1-1+x+1-5≥4x+1
Применив обобщенный метод интервалов, находятся точки, у которых каждый модуль обратится в нуль:
x+1-1=0x+1-5=0⟺x+1=1x+1=5⟺x=0x=24
Полученные точки разбивают ОДЗ на три интервала, на каждом из которых неравенство будет иметь различный вид:
(1)-1≤x≤0-x+1+1-x+1+5≥4x+1⟺-1≤x≤0x+1≤1⟺-1≤x≤0x≤0
20<x≤24x+1-1-x+1+5≥4x+1⇔0<x≤24x+1≤1⇔0<x≤24x≤0
3x>24x+1-1+x+1-5≥4x+1⟺x>24x+1≤-3⟺x∈∅.
С учетом ОДЗ получается, что x∈-1;0.
Ответ: -1;0.
