В учебно-воспитательном процессе математическая модель рассматривается как система математических зависимостей и отношений, с помощью которых описываются определенные свойства, признаки или характеристики реальных объектов, процессов или явлений, которые исследуются, и отражаются принципы их внутренней организации или функционирования.

Под моделированием понимается процесс построения, исследования и использования модели.

При разработке математической модели устанавливаетсяряд требований к ее свойствам, выполнение которыхнеобходимо для ее эффективного использования. Рассмотрим основные из них.

Целенаправленность модели. В модели должны фигурировать параметры, описывающие цель объекта, а так же параметры, с помощью управления которыми можно добиться достижения цели.

Точность модели определяется величинами погрешности, с которыми рассчитываются выходные параметры. Погрешности подразделяются на систематические и случайные.

Непротиворечивость модели характеризует отсутствие абсурдных ответов и выводов при использовании модели. При этом обычно рассматриваются крайние случаи (метод доведения до абсурда).

Типовое решение. При производстве резисторов на их сопротивление влияет большое количество возмущающих факторов.

Реалистичность модели оценивается путем также расчета типовых примеров, для которых заранее известен результат (точный или ориентировочный).

Устойчивостью модели называется слабая чувствительность к погрешностям ее параметров. Неустойчивость модели является ее свойством и не всегда свидетельствует о неустойчивости описываемых ею объектов.

Удобство использования является одним из основных свойств математических моделей, что обусловлено самим методом моделирования. Это требование, в частности, должно предусматривать удобство реализации в виде компьютерных программ.

Универсальность модели обеспечивает описание с помощью нее как можно более широкий класс объектов. Требование универсальности особенно важно в моделях, предназначенных для проектирования, т.к. они должны описывать еще не существующие объекты с заранее не известными (а лишь предполагаемыми) свойствами.

Адаптивность и возможность изменения. Модели, обладающие этими свойствами можно корректировать при изменении окружающих условий и совершенствовать для улучшения ее свойств. Простейшим приемом обеспечения адаптивности модели является введение в нее корректирующих коэффициентов, значения которых можно изменять и уточнять по мере ее использования.

Экономичность, простота, физический смысл. Требование экономичности модели подразумевает минимизацию затрат на ее разработку и реализацию (в частности, время, необходимое для компьютерных расчетов).

Наличие физического смысла полезно для изучения модели с целью избежания возможных ошибок. Принцип простоты заключается в том, что из нескольких моделей с одинаковыми другими свойствами нужно выбрать наиболее простую. При этом для разных целей можно использовать разные модели одного и того же объекта. Например, для проектирования используют сложные аналитические модели, обладающие высокой универсальностью и учитывающие большое число параметров; для управления объектами в реальном масштабе времени используются простые статистические модели, содержащие только управляющие параметры и просчитываемые на управляющих компьютерах за доли секунды.

Адекватность математической модели является ее интегральным свойствам, объединяющим другие наиболее важные свойства. Если свойства модели удовлетворяют требованиям, говорят, что она адекватна (оригиналу), в противном случае – не адекватна.

Разработка математической модели состоит из ряда этапов.

1. Уяснение и формулировка целей. На этом этапе нужно сформулировать требования к модели и определить ее выходные параметры.
2. Определение необходимых свойств модели, исходя из классификации (линейная или нелинейная, статическая или динамическая и т.п.).
3. Определение параметров, входящих в модель (входные, управляющие, состояния).
4. Представление объекта в виде системы. Составление структурной схемы модели и дерева целей.
5. Определение параметров для каждой подсистемы и каждого элемента.
6. Разработка математических моделей каждого элемента, устанавливающих связь между их параметрами.
7. Оценка устойчивости, непротиворечивости и реалистичности моделей элементов.
8. Экспериментальная проверка моделей элементов, оценка их адекватности.
9. Разработка модели системы на основе моделей элементов и с учетом взаимосвязи их параметров.
10. Оценка адекватности модели системы.

Порядок разработки математической модели являетсяитерационным: с любого этапа при необходимости можновернуться на любой из предыдущих этапов с целью внесенияулучшений, уточнений и упрощений.

Упростить модель можно, выполнив одну из следующихопераций:превратить некоторую переменную величину в постоянную;превратить динамическую модель в статическую, введя вмодель вместо переменных, зависящих от времени, ихпроизводные;исключить или объединить некоторые переменные;ввести более жесткие ограничения и предположения;предположить, что модель является линейной,стационарной, детерминированной, с сосредоточеннымипараметрами.