При решении показательных и логарифмических неравенств широко используется понятие области определения показательных и логарифмических функций, а также общее свойство этих функций – их монотонность.
Функции у=ах и у=logax при a>1 являются монотонно возрастающими, а при 0<a<1 – монотонно убывающими.
При решении показательных и логарифмических уравнений проверка трудно выполнима, поэтому следует избегать неравносильных преобразований.
1.1 Способы решения логарифмических неравенств.
В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a>1, то неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно системе неравенств
fx>g(x)gx>0
Утверждение 2. Если 0<a<1, то неравенство logafx>logagx
равносильно системе неравенств
fx<g(x)fx>0
Утверждение 3. Неравенство logh(x)fx>logh(x)g(x) равносильно совокупности систем неравенств
hx>1fx>gx>00<hx<10<fx<g(x).
Подчеркнем, что в неравенстве logafx>logagx вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Пример 1: log3(x2-x)≥log3(x+8)
Решение:
Используя утверждение 1, получим:
log3(x2-x)≥log3(x+8)
x2-x≥x+8x+8>0
x2-2x-8≥0x>-8
x≤-2x≥4 x>-8
Ответ: x ∈-8;-2∪[4;+∞)
Пример 2: log0,2(5-x)>log0.22x-2
Решение:
Основание логарифма число между нулём и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим:
log0,2(5-x)>log0.22x-2
5-x<2x-25-x>0
5-xx-2-2x-2<0x<5
7x-x2-12x-2<0x<5
-(x-3)(x-4)x-2<0x<5
2<x<3x>4 x<5
2<x<34<x<5
Ответ: x ∈(2;3)∪(4;5)
Пример 3: log2(log13(log8x))>0
Решение:
Запишем 0=log21 и, используя утверждение 1, получим:
log2(log13(log8x))>log21
log13(log8x)>1
Запишем 1=log1313 и, используя утверждение 2, получим:
log13(log8x)>log1313
log8x<13log8x>0
0<x<813x>1
1<x<2
Ответ: x∈(1;2)
Пример 4: logx+2x-35-x>logx+2x-3(4-x)
Решение:
Используя утверждение 3, получим
logx+2x-35-x>logx+2x-3(4-x)⇔x+2x-3>15-x>4-x>00<x+2x-3<10<5-x<4-x
Решение первой системы совокупности:
x+2x-3>15-x>4-x>0
x+2x-3>15-x>4-x4-x>0
x+2x-3-1>05>4x<4
5x-3>0x∈Rx<4
3<x<4
Решение второй системы совокупности:
0<x+2x-3<10<5-x<4-x
0<x+2x-3x+2x-3<10<5-x5-x<4-x
x<-2x>3 5x-3<0x<55<4
x<-2x>3 x<3x<5x∈∅
x∈∅
Итоговое решение:
x∈(3;4)x∈∅
Ответ: x∈(3;4)
Пример 5: log2xx2-5x+6<1
Решение:
Запишем 1=log2x2x и, используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменён на знак <)
log2xx2-5x+6<log2x2x⇔2x>1×2-5x+6<2xx2-5x+6>00<2x<1×2-5x+6>2x2x>0
Решение первой системы совокупности:
2x>1×2-5x+6<2xx2-5x+6>0
x>12×2-7x+6<0x<2x>3
x>121<x<6x<2x>3
x∈(1;2)∪(3;6)
Решение второй системы совокупности:
0<2x<1×2-5x+6>2x2x>0
0<x<12×2-7x+6>0
0<x<12x<1x>6
x∈0;12
Итоговое решение:
x∈(1;2)∪(3;6)x∈0; 12
Ответ: x∈0; 12∪(1;2)∪(3;6)
Пример 6: log122x+log12x-2≥0
Обозначив t=log12x , получим квадратное неравенство t2+t-2=0, откуда t≤2 или t≥1 . Таким образом, получаем:
log12x≤-2log12x≥1
x≥12-20<x<121
x≥40<x≤12
Ответ: x∈(0; 12∪[4;+∞)
Пример 7: 15-lgx+21+lgx<1
Решение:
Обозначив t=lgx , получим рациональное неравенство
15-t+21+t<1
Используя метод интервалов, получим:
1+t+25-t-(5-t)(1+t)(5-t)(1+t)<0
t2-5t+65-t1+t<0
(t-2)(t-3)(5-t)(t+1)<0
t≤-12<t<3t>5
Следовательно,
lgx≤-12<lgx<3lgx>5
0<x<110100<x<1000x>105
Ответ: x∈(0; 110)∪(100; 1000)∪(105; +∞)
Пример 8: lgx-2+lg(x-5)<lg4
ОДЗ неравенства – множество (5;+∞) .
Используя свойства логарифмов, получим неравенство:
lgx-2x-5<lg4
Используя утверждение 1, получим:
x-2x-5<4x-2x-5>0
Решаем систему:
x2-7x+6<0x<2x>5
1<x<6x<2x>5
x∈1;2∪5;6
и, учитывая ОДЗ, получаем ответ: x∈(5;6)
Пример 9: log9x3x+log3x29x2≤52
Решение:
Определим ОДЗ неравенства:
3x>09x>09x≠13×2>03×2≠19×2>0
x>0x≠19x≠±13
x∈0; 19∪19; 13∪13;+∞
Приведя все логарифмы к основанию 3, получим:
log33xlog39x+log39x2log33x2≤52
Используя свойства логарифмов, получим
1+log3x2+log3x+2+2log3x1+2log3x≤52
Обозначив log3xx=t , решим полученное неравенство методом интервалов:
1+t2+t+2+2t1+2t-52≤0
21+t1+2t+22+2t2+t-5(2+t)(1+2t)2(2+t)(1+2t)≤0
-2t2-7t(2+t)(1+2t)≤0
-t2t+72+t1+2t≤0
t∈-∞;-72∪-2; -12∪0;+∞
Следовательно,
log3x≤-72-2<log3x<-12log3x≥0
0<x≤13719<x<13x≥1
откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:
x∈(0; 1273∪19; 13∪0;+∞)
Решим теперь систему неравенств.
Пример 10: 4x-6∙2x+8≥0log32x2+3x-5x+1≤1
Решаем сперва первое из неравенств. Используя замену t=2x , переходим к неравенству:
t2-6t+8≥0⇔t≤2t≥4
Переходим к обратной подстановке:
2x≤212x≥22⇔x≤1x≥2
x∈-∞;1∪[2;+∞)
Решаем теперь второе неравенство. Область допустимых значений определяется неравенством:
2×2+3x-5x+1>0⇔x∈-2.5;-1∪1;+∞
В области допустимых значений с учётом того, что основание логарифма 3>1, переходим к равносильному неравенству:
2×2+3x-5x+1≤3
x2-4x+1≤0
x∈(-∞;-2]∪(-1;2]
Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток x∈-2.5;-2∪2 .
1.2 Примеры решений показательных неравенств.
Пример 1: 5x-6<56x-1
Решение:
Областью определения данного неравенства является вся числовая ось:
-∞<x<+∞. При основании a=5>1 меньшему значению функции соответствует меньшее значение показателя: x-6<6x-1 , или 5x>-5 .
Ответ: -1<x<∞
Пример 2: 13x+13-x<1
Решение:
Исходное неравенство можно записать так:
13x+13-x<130
Левая часть неравенства определена на всей числовой оси, кроме точки
x=3; -∞<x<+∞,x≠3.
При a=13<1 мы имеем монотонно убывающую функцию. Поэтому меньшему значению функции соответствует большее значение показателя.
Получаем неравенство x+13-x>0 , равносильное исходному. Решая его, находим -1<x<3.
Пример 3: 25x+24 -5x+7 ≥5x-7
Решение:
Область определения неравенства находится из условия 5x-7≥0 и является интервалом log57≤x<∞ .
Исходное неравенство равносильно неравенству
25x+24 ≥5x+7 +5x-7
Так как обе части этого неравенства неотрицательны, то после возведения его в квадрат и соответствующих упрощений получаем равносильное ему на том же интервале неравенство 24≥52x-49.
На том же интервале обе части этого неравенства неотрицательны, и, возводя его в квадрат, снова получаем равносильное исходному неравенство 52x≤525, откуда -∞<x≤2. Учитывая область определения исходного неравенства log57≤x<∞, получаем ответ: log57≤x≤2.
Пример 4: 4×2+3∙33+x∙3x<2×2∙3x+2x+6
Решение: Обе части неравенства определены при x≥0. Имеем
4×2-2x-6+3+x-2×2∙3x<0
22×2-x-3-2×2-x-3∙3x<0
2×2-x-33x-2>0
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
2×2-x-3>03x-2>0
2×2-x-3<03x-2<0
Из первой системы получаем 32<x<-∞, из второй 0≤x<log322.
Эти два интервала и составляют ответ.
Пример 5: 16x-2∙12x≤32x+1
Решение:
Представим исходное неравенство в виде:
42x-2∙4x∙3x-3∙32x≤0
Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции у=32x) знак неравенства не изменится:
432x-2∙43x-3≤0
Воспользуемся подстановкой:
t= 43x
Тогда неравенство примет вид:
t2-2t-3≤0
Решением неравенства является промежуток:
-1≤t≤3
переходя к обратной подстановке, получаем:
-1≤43x≤3
Левое неравенство в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
43x≤43log433
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным будет переход к следующему неравенству:
x≤log433
Окончательный получаем ответ: x∈-∞; log433.
Пример 6: 7x-307x-1+1≤-14
Решение:
Используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
7x-3017∙7x+1≤-14
Введём новую переменную:
t=7x
С учётом этой подстановки неравенство принимает вид:
t-3017∙t+1+14≤0
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
7t-210t+7+14≤0
21t-112t+7≤0
3t-16t+7≤0
Неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:
-7≤t≤163
Переходя к обратной подстановке, получаем:
-7≤7x≤163
7x≤7log7163
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным будет переход к неравенству:
x≤log7163
Окончательно получаем ответ: x∈(-∞; log7163
Пример 7: 22×2-6x+3+6×2-3x+1-32×2-6x+3≥0
Решение:
2∙22×2-6x+2+2×2-3x+1*3×2-3x+1-3∙32×2-6x+2≥0
Делим обе части неравенства на выражение:
32×2-6x+2
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
2∙232×2-6x+2+23×2-3x+1-3≥0
Воспользуемся заменой переменной:
t=23×2-3x+1
Исходное уравнение тогда принимает вид:
2t2+t-3≥0
Неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:
t∈-∞; -32∪[1;+∞)
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
23×2-3x+1≤-3223×2-3x+1≥1
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
23×2-3x+1≥1
23×2-3x+1≥230
Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным будет переход к следующему неравенству:
x2-3x+1≤0
В итоге мы получим ответ:
x∈3-52; 3+52
Решим теперь систему неравенств.
Пример 8: 2x+16∙2-x≥172log9(4×2+1)≤log3(3×2+4x+1)
Решение:
Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе части на 2x>0 и делаем замену t=2x, в результате чего переходим к неравенству:
t2-17t+16≥0 ⇔ t≤1t≥16
Переходим к обратной подстановке:
2x≤202x≥24
x≤0x≥4
x∈-∞;0∪4;+∞
Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:
4×2+1>03×2+4x+1>0⇔x∈(-∞;-1)∪-13; +∞
Воспользовавшись свойствами логарифмов, в области допустимых значений переходим к равносильному неравенству:
log3(4×2+1)≤log33x2+4x+1
4×2+1≤3×2+4x+1
x2-4x≤0
x∈0;4
Данный промежуток целиком входит в область допустимых значений данного неравенства.
Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть x=0, 4.
Пример 9: 3x<1+12∙3-x2ln13x-2+ln(5-2x)≥0
Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе его части на 3x>0 ,
после чего получаем неравенство:
32x-3x-12<0
Используя подстановку t=3x, переходим к следующему неравенству:
t2-t-12<0
-3<t<4
Переходим к обратной подстановке:
-3<3x<42
x∈(-∞; log34)
Решаем теперь второе неравенство. Определим сначала область допустимых значений этого неравенства:
13x-2>05-2x>0
x>23x<2.5
x∈23;2.5
В области допустимых значений переходим к равносильному неравенству:
ln5-2x3x-22≥0
5-2x3x-22≥1
9×2-10x-13x-22≤0
x∈5-349; 5+349
Тогда с учётом области допустимых значений получаем:
x∈23; 5+349
Находим общее решение неравенств. Сравнение полученных иррациональных значений узловых точек – задача в данном примере отнюдь не тривиальная. Сделать это можно следующим образом. Так как
5+349<5+39.06259=54
log34=log34256>log34243=log3354=54
то 5+349<log34, и окончательный ответ к системе имеет вид:
x∈23; 5+349
