Показательными неравенствами называют неравенства вида:

af(x)≥ag(x)

где a – положительное число, отличное от 1.

Подчеркнём, что в неравенстве af(x)≥ag(x) вместо знака ≥ может фигурировать любой из знаков <, ≤, >. В этом случае неравенства соответственно преобразуются.

Приведём сначала формулы, с помощью которых производятся преобразования показательных неравенств:

ам*ап=ам+n;

am:an=am-n;

am n=amn;

abn=an*bn;

abn=anbn.

Теорема: Неравенство вида af(x)>ag(x) равносильно неравенству fx>g(x) при a>1 и неравенству fx<g(x) при a ϵ 0,1. Неравенство вида (fx)g(x)>(fx)h(x) равносильно следующей совокупности:

fxgx>fxhx⇔fx>1gx>h(x)0<fx<1gx<h(x).

Неравенство вида (fx)g(x)≥(fx)h(x) равносильно совокупности

fxgx≥fxhx⇔fx≥1gx≥h(x)0<fx≤1gx≤h(x).

Основные виды показательных неравенств:

Простейшие показательные неравенства:

ах>b

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств степени:

ах∙Ьх<с

Показательные неравенства с вынесением общей степени:

ах+1-ах≤b

Сводящиеся к квадратным показательные неравенства:

ах-b∙cx+с>0

Однородные показательные неравенства:

ах-b∙cx+dx<0