Понятие задачи является емким и связано с огромным количеством различных проблем, которые рассматриваются в дидактике, психологии, философии и пр. Также термин «задача» связано с понятием проблемной ситуации, проблемы, вопроса, задания, упражнения. Хотя проблема, которая заключается в решении практических и математических задач, изучается очень давно, но до сих пор нет единого подхода, касающегося основных понятий, которые связаны с задачей. Совершенно разными являются определения генезиса каждого понятия, а также их иерархия, которые были сделаны специалистами различных наук. Кроме того, психологи, философы, математики, педагоги и др. интересуются специфическими для каждой науки сторонами данного понятия.
Сначала необходимо выяснить само понятие задачи.
Психолого-педагогическая литература предоставляет различные подходы понятия «задача». Учитывая указания проблемной ситуации, данные подходы являются едиными и источниками задачи, а также они отличаются характеристикой места и роли субъекта в ситуации, которая рассматривается [22].
Сами представления об объекте, а в нашем случае – о задаче, уточняются и определяются путем исследований условий его возникновения и функционирования.
Возникает вопрос: как возникает задача? Исследование, которое было проведено Л.М. Фридман, привело ученого к выводу о том, что «… проблемные ситуации возникают из таких компонентов, как действующий субъект – С, объект его деятельности О, преграды на пути осуществления его деятельности — П». В самом начале субъект делает анализ проблемной ситуации, в ходе которого определяет все ее составляющие, их взаимосвязь и ее особенности. Результат анализа, который провел субъект, выражается на определенном языке. Сам процесс зарождения и развития задачи является моделированием проблемной ситуации, куда попадает субъект в ходе собственной деятельности, а задача – моделью проблемной ситуации, которая выражается посредством знаков естественных и искусственных языков [25].
Из этого следует, что понятие проблемной ситуации намного шире, нежели понятие задачи, поскольку в модели проблемной ситуации отражены только определенные ее стороны. У проблемной ситуации и задачи есть определенные качества и свойства. Например, проблемная ситуация связана с некоторым субъектом и неотделимо от него. Задача, напротив, передается от одного субъекта к другому, может изменяться, дополняться, урезаться и переделываться и пр.
Задача формируется не только как результат практической деятельности, но и как познавательной. В данном случает задачу рассматривают в качестве требования найти, доказать, установить, определить и пр. любые характеристики определенного объекта, используя его известные характеристики. Следует отметить то, что эта трактовка задачи полностью совпадает с той, которая была дана раньше, если рассматривать проблемную ситуацию, которая возникает в процессе познания, изучения, исследования субъектом рассматриваемого объекта и возникшее на этом пути препятствие.
В ходе изучения математики ученики решают огромное число задач, которые предоставлены в учебнике, задачнике или составленные учителем. Сначала кажется, что данные задачи существуют независимо от учеников. И становится ясно, что каждая задача становится задачей по существу только в том случае, если школьник «принял» ее, начал искать ее решение [6].
В методической литературе вместе с термином «задача» используют термин «упражнение». Одни авторы упражнение считают задачей, методом, решения которой известен. Приведем пример. Задачу на закрепление формулы корней квадратного уравнения можно назвать упражнением, которое соответствует трактовке, что была проведена. Другие считают, что упражнение – это задача, которую следует решить в процессе обучения. Очевидно, нецелесообразно, чтобы два различных термина применялись для одного и того же объекта. Термин «упражнение» используется также при изучении алгебры термин «задача» — при изучении геометрии. Но упражнения в действующих и пробных курсах алгебры используются не только для того, чтобы закрепить материал, а и для изучения алгебры и развития школьников. Совершенно по-другому трактует термин «упражнение» Г.И. Саранцев. В процессе взаимодействия субъекта и задачи, могут изменяться как субъект, так и задача. Изменения в субъекте связаны с тем, что он приобретает знания, развивает умения и навыки в процессе работы над задачей. В ходе взаимодействия субъекта и задачи изменяются, преобразовываются условие и требование задачи, появляются, уточняются и преобразовываются различные модели задачи и пр. Для Г.И. Саранцева, упражнение – это такая задача, в процессе решения которой изменяется только субъект, который ее решает [9].
Отдельно необходимо отнести математические задачи, которые решаются посредством специальных математических средств и методов. Существуют такие научные задачи, как теорема Ферма, проблема Гольбаха и пр., решение которых способствует развитию математики и ее приложений, учебные задачи, которые способствуют формированию необходимых математических знаний, умений и навыков у различных групп учащихся: школьников, слушателей курсов, студентов и др. и изменяют качества личности обучаемого.
Учебные математические задачи отличаются друг от друга характером их объектов. Одни задачи состоят из таких математических объектов, как число, геометрические фигуры, функции и пр., а другие – из реальных предметов: людей, животных, автотранспортных и механических средств, сплавов, жидкостей и т.д., или их свойств и характеристик: количества, возраста, скорости, длины, массы, производительности и пр. Задачи, которые состоят из математических объектов (доказательства теорем, вычислительных упражнений, установления признаков математического понятия, которое изучается и т.д.), называют математическими заданиями [18].
Математические задачи, которые содержат хоть один объект – реальный предмет, называются текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и пр.). Названия, которые были перечислены, определяются методом записи (задача представлена в виде текста), сюжетом (описываются реальные объекты, явления и события), характером математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В наше время часто используется термин «текстовая задача».
Текстовая задача является описанием определенной ситуации, явления или процесса, в ходе которого используется естественный язык или язык математики. При этом предъявляются требования: дать предоставить количественную характеристику любого элемента данной ситуации. Приведем пример. Определить числовое значение некоторой величины, используя при этом известные числовые значения других величин и зависимости между ними, или установить, существуют или отсутствуют определенные отношения между ее компонентами, или определить тип данного отношения, а также последовательность требуемых действий [9].
Если учитывать современную терминологию, то можно сказать, что текстовая задача является словесной моделью ситуации, явления, события, процесса и пр. Как и в модели, в текстовой задаче описаны не все события или явления, а только, его количественные и функциональные характеристики.
Пример 1. Из городов А и В, которые находятся на расстоянии 195 км, одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Через три часа они встретились. Далее поезд из города А, чтобы пройти расстояние от места встречи до города В, потратил на 13/14 ч больше, нежели поезд, который выехал из В, от места встречи о города А. Определите, с какой скоростью двигались каждый из поездов.
Задача описывает движение двух поездов. Каждое движение можно характеризовать с помощью трех величин: расстояния, скорости и время движения. В данной задаче указано, что поезда прошли одинаковое расстояние, которое равно 195 км. Также известно время движения поездов до встречи, а также то, что один из поездов был на 13/14 ч в пути больше, нежели другой. Требуется найти количественные характеристики скоростей движения двух поездов.
В каждой задаче можно выделить:
1) числовые значения величин, которые называют данными, или известными;
2) определенную систему функциональных зависимостей в неявной форме, которые взаимно связывают искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
3) требование или вопрос, на который необходимо ответить.
Числовые значения величин и зависимости, которые между ними существуют, иными словами, количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними, — это условие задачи. Задача обычно состоит не с одного условия, а с нескольких, которые принято называть элементарными [12].
Требования можно формулировать как в форме вопроса, так и в форме повествования, и их также может быть несколько. Величина, которую необходимо найти, называется искомой величиной, а числовые значения – искомыми, или неизвестными.
Высказывательная модель задачи – это система условий и требований, которые связаны между собой. Чтобы узнать о структуре задачи, необходимо, прежде всего, определить ее условия и требования, иными словами, построить высказывательную модель задачи [5].
Пример 2. Необходимо выделить условия и требования в задаче «Собака погналась за лисицей, которая находилась от нее на расстоянии 30 км. Собака прыгает на расстояние 2 м, а лисица – 1 м. Когда лиса делает три скачка, собака делает только два. Вопрос: сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние она пробежит?»
Условия задачи
1. Собака догоняет лисицу.
2. Расстояние, которое было между собакой и лисой сначала равно 30 м.
3. Скачок собаки равен 2 м.
4. Скачок лисицы равен 1 м.
5. За одно и тоже время, лисица делает три скачка, собака – только два.
6. Собака догнала лисицу.
Требования задачи
1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу?
2. Какое расстояние пробежит собака?
Чтобы ответить на требование задачи, необходимо ее решить.
Решить задачу – означает раскрыть связь между числами, которые даны в условии задачи, и величинами, которые нужно найти, установить последовательность применения общих положений математики: правил, законов, формул и пр., с помощью общих положений выполнить действия над данными задачи, а также ответить на требования задачи или доказать невозможность ее выполнения. Термин «решение задачи» очень часто используют в математике. Этим термином обозначают неодинаковые понятия, которые связаны между собой [15]:
1) результат – это решение задачи, или ответ на ее требование;
2) процесс нахождения этого результата – это решение задачи, иными словами, действия человека, который решает задачу, начиная с чтения задачи и заканчивая ее решением;
3) действия, которые производят над условиями и их следствиями, используя общие положения математики для того, чтобы получить ответ задачи, называются решением задачи.
Далее мы не будем придерживаться конкретного значения данного термина и объяснять, какое мнение мы имеем в той или иной ситуации. В каждом случае будет ясно, о каком толковании термина «решение задачи» идет речь.
В условиях школьного обучения нельзя исчерпать все многообразие задач, с которыми школьники могут встретится, когда окончат школу. Именно поэтому ученики должны узнать о таких методах и способах задач, которые являются общими для многих из них, и научиться их использовать так, чтобы достигать высокого уровня развития, с помощью которого в дальнейшем они бы смогли самостоятельно решить новые задачи. Постановка задач перед учениками может происходить на различных этапах обучения. Это необходимое условие стимулирования детского мышления. Также существуют задачи, которые предполагают развернутый, творческий процесс мышления [10].
Данные, которые предоставили психологи, а также наши наблюдения говорят о том, что в процессе решения различных задач разными людьми проявляются общие закономерности, которые характеризуют решение задач в качестве специфической деятельности. Вместе с логической структурой решения задачи, которая определяет организацию исходных ее элементов, логики необходимых преобразований, существует психологическая структура решения задач, которая выражает строение интеллектуальной деятельности, которое присуще человеку.
Текстовая задача заключается в том, чтобы описать некоторую ситуацию на естественном языке, требуя количественную характеристику любой составляющей данной ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее составляющими или выявить вид данного отношения [4].
Решать задачи – это работа несколько необычная, так как она является умственной. Для тог, чтобы научиться выполнять определенную работу, необходимо заранее изучить тот материал, над которым нужно будет работать, те средства, с помощью которых будет выполняться данная работа. Следовательно, чтобы научиться решать задачи надо разобраться что это такое, как они устроены, из каких компонентов состоят, каковы средства, с помощью которых можно найти ответ на данную задачу. Каждая задача представляет собой единство условия и цели. Если хоть один компонент отсутствует, то задачи нет. Это нужно учитывать в процессе анализа текста задачи, где соблюдается такое единство. Это значит, что анализ условия задачи нужно соотносить с ее вопросом, и, наоборот, вопрос задачи анализировать в соответствии с условием. Но их нельзя разрывать, поскольку они – единое целое. Под математической задачей понимают связанный лаконический рассказ, где присутствуют значения некоторых величин и предложено найти другие неизвестные значения величин, которые определяются данными и связаны с ними определенными соотношениями, которые указаны в условии. Любая тестовая задача состоит из двух частей: условия и вопроса. В условии находится информация, которая касается объектов и некоторых величин, что характерны данному объекту, значений этих величин, которые известны и неизвестны, отношений между ними. Требования задачи являются указанием того, что необходимо найти. Оно выражается предложением в повелительной форме или форме вопроса. Например, «Определите площадь прямоугольника» или «чему равна площадь треугольника?».
Рассмотрим задачу: «Один экскаватор прокопает траншею за 7 дней, а другой за 5 дней. Оба экскаватора работают одновременно. За сколько дней будет прокопана траншея?»
Задача имеет 5 неизвестных значений величин. Одно из них находится в требовании задачи. Это значение величины называется искомым. Иногда задачи сформулированы так, что одно предложение состоит из части условия или всего условия с требованием задачи. В жизни существует много различных задачных информацию, иными словами, информацию, которую не используют для выполнения требований задачи. Основой задач, которые имеют недостаточно информации для того, чтобы выполнять требования, являются задачные ситуации, которые возникают в жизни. В задаче, условие которой состоит в том, чтобы найти длину и ширину участка в форме прямоугольника, если известно, что его длина больше ширины на 3 метра, не хватает данных, чтобы решить ее. Поэтому для решения данной задачи необходимы еще данные. Одна и та же задача рассматривается как задача, имеющая достаточное количество данных с учетом имеющихся и решающихся значений [7].
В ходе рассмотрения задачи, в ней были выделены такие составляющие:
1) изложение сюжета с помощью слова, где явно или завуалированно указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу;
2) числовые значения величин или числовые данные, которые рассматриваются в тексте задачи;
3) задание, которое имеет форму вопроса, где предлагается найти неизвестные значения одной или несколько величин. Данные значения называются искомыми.
Задачи и их решение в обучении учеников занимают существенное место, которое касается времени и влияния на детское умственное развитие. Учитывая данные факты, учитель должен подбирать задачи и выбирать методы их решения обоснованно, а также четко знать, как повлияет на учащегося работа, совершенная в процессе решения данной им задачи.
Все арифметические задачи, касающиеся числа действий, которые выполняются для их решения, делятся на простые и составные. Простая задача состоит в том, что для того, чтобы получить ответ на поставленный вопрос задачи, необходимо выполнить одно арифметическое действие. Составная – это задача, для получения ответа которой нужно выполнить несколько действий [8].
В системе обучения математике простые задачи играют очень важную роль. Решая такие задачи, у детей формируется центральное понятие начального курса математики – понятие об арифметических действиях. Решение простых задач подготавливает учащихся к решению составных, поскольку решение составных сводится к решению ряда простых задач. В ходе решения простых задач дети впервые знакомятся с задачей и ее компонентами, приобретают основные приемы работы над задачей. На первом этапе знакомства детей с простой задачей, перед учителями возникает несколько сложных проблем:
1) первая проблема связана с тем, чтобы дети смогли узнать и осознать вторичные сигналы к конкретным понятиям, что связаны с задачей;
2) вторая заключается в выработке умения определять в задаче данные числа и число, которое нужно найти;
3) третья проблема – научить детей сознательно определять действия и их составляющие.
Знакомясь с задачами и их решением, дети не могут не учитывать специфические термины, которые необходимы для того, чтобы осознать смысл задачи. Работа, связанная с усвоением терминологии, должна осуществляться с первых дней школьных занятий и продолжаться на протяжении всего обучающего процесса.
Составная задача состоит из более простых задач, которые связаны между собой таким образом, чтобы искомое число одних простых задач служили данными для решения других. Чтобы решить составную задачу, необходимо разбить ее на простые, которые решаются последовательно. Следовательно, чтобы решить составную задачу, необходимо определить связь между искомым и данными, а затем выполнять арифметические действия [33].
Запись решения составной задачи посредством составления по ней выражения помогает обратить внимание учеников на логическую часть работы над задачей. В это же время дети учатся составлять план решения задачи и экономить время. В процессе записи решения составных задач, учащиеся могут использовать скобки.
Всем известно, что для того, чтобы дети научились решать задачи, нужно подробно рассмотреть одну задачу и решить ее разными способами. Это позволит ученикам убедиться в том, что, если правильно решать задачи, можно поглубже раскрыть зависимость между величинами, которые рассмотрены в задаче. Основой решения многих задач различными способами являются различные свойства действий или вытекающие из них правила. Решая задачу разными способами, ученик ищет дополнительную информацию, так как он непроизвольно выбирает суждения, ход мыслей; один и тот же вопрос рассматривается с разных точек зрения.
В математике существуют основные арифметические и алгебраические способы решения задач.
Арифметический способ заключается в том, что решение задачи – это результат выполнения арифметических действий над числами. Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга действиями или их количеством, а также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, которые являются основой выбора арифметических действий или последовательности применения данных отношений при выборе действий [2].
В ходе алгебраического способа решение задачи можно получить путем составления и решения уравнений. Учитывая выбор неизвестного для того, чтобы обозначить его буквой, ход рассуждений, составляются разнообразные уравнения по одной и той же задаче. Это свидетельствует о том, что существуют разные алгебраические решения данной задачи, которые в начальных классах используются не так часто, как в средних.
Легко можно решить задачу, применяя только чертеж. Этот способ решения называют графическим. Раньше графический способ решения арифметических задач был не очень популярен в школьной практике. Именно с его помощью можно более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей [18].
Нужно сказать о том, что посредством графического способа можно сократить время, которое необходимо для того, чтобы учащиеся смогли научиться решать различные задачи. Также умение решать задачу графическим способом является политехническим умением. Данный способ дает возможность решить такую задачу, которую дети еще не способны решить арифметическим методом. Решать задачи разными способами – дело сложное. Оно требует глубоких знаний по математике, умения находить самые оптимальные решения.
Выполняя практические действия с предметами (макетами, моделями и т.п.), тем самым отвечаем на требования задачи, то есть решаем задачу практическим способом [12].
Еще есть очень простой и наглядный способ решения задач, но его можно использовать, только в то случае, когда требуется установить соответствия между двумя множествами – это табличный способ решения.
Решать текстовые арифметические задачи является сложной деятельностью, содержание которой определяется конкретной задачей и умением того, кто решает. В ней можно выделить несколько этапов [24]:
1) этап, связанный с ознакомлением с содержанием задачи;
2) второй этап связан с поиском решения задачи;
3) третий этап состоит в выполнении решения задачи;
4) четвертый этап заключается в проверке решения задачи.
Все этапы связаны между собой, и работа на каждом этапе происходит только под руководством учителя.
Можно выделить несколько методов поиска решения задачи. Использование средств наглядности для того, чтобы определить величины, из которых состоит задача, данные и искомые числа, а также установить связь между ними, называется иллюстрацией. Существует предметная и схематическая иллюстрация.
Любая иллюстрация способствует тому, чтобы учащиеся смогли найти решение задачи, только тогда, когда дети выполняют ее самостоятельно, так как в этом случае они анализируют задачу. Установить взаимосвязь данных и искомого, выбрать соответствующее арифметическое действие дети могут только под руководством учителя, который проводит беседу, касающуюся разбора задачи.
План решения состоит в том, чтобы объяснить действия, которое направлено на нахождение решения задачи, а также указать порядок арифметических действий. Очень часто рассматривая новый вид задач, учащиеся не могут составить план, поэтому им помогает учитель. В данном случае рассуждение строится двумя способами: идти от вопроса задачи к числовым данным или от числовых данных идти к вопросу. Под решением задачи понимают выполнение арифметических действий, которые были определены в ходе составления плана решения. При этом ученики должны объяснять, что находят, выполняя каждое действуе.
Проверить решение задачи означает определить: является ли оно верным или ошибочным. Дети начальных классов применяют 4 вида проверки [9]:
1) составить и решить задачу, обратную данной;
2) установить соответствие между числами, которые были получены в ходе решения задачи и данными числами;
3) решить задачи иным способом;
4) прикинуть ответ.
Самого большего результата можно достичь, если в процессе решения задачи использовать различные формы работы:
1. Работа над решенной задачей, повторение анализа.
2. Решение задач, используя разные способы. Это умение говорит о том, что ребенок имеет высокое математическое развитие.
3. Представление ситуации, которая описана в задаче. Мысленно участие в данной ситуации, разбиение текста задачи на смысловые компоненты.
4. Самостоятельное создание условий задач учениками. Например: составить задачу, которая решается посредством одного, двух или трех действий; по выражению и пр.
5. Решение задач, где есть лишние данные или их не хватает.
6. Изменение вопроса задачи.
7. Объяснение готового решения и т.д.
Используя в начальном обучении математике различные методы и формы работы над текстовыми арифметическими задачами, учитель применяет их таким образом, чтобы они могли способствовать активизации мышления учащихся, их развитию, вызывать интерес к математике.